Bonjours a toi.
Dans la requete de mise à jour tu fais une faute
tu écris
mysql_query('UPDATE identifients_clients SET login="'.$_POST['new_login'].'" AND mot_de_passe="'.$_POST['new_mdp'].'" WHERE email_client="'.$_POST['courriel'].'"');
alors que la requete exate est
mysql_query('UPDATE identifients_clients SET login="'.$_POST['new_login'].'" , mot_de_passe="'.$_POST['new_mdp'].'" WHERE email_client="'.$_POST['courriel'].'"');